Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．（1）求证：①

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BG平分∠ABC，GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，交BG于点E，连接EF．（1）求证：①AE=AG；②四边形AEFG为菱形．（2）若AD=8，BD=6，求AE的长．

Answer 1

证明：（1）①∵BG平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBE， ∵∠ABE+∠AGE=90°，∠EBD+∠DEB=90°，∠GEA=∠BED， ∴∠AEG=∠EGA，即AG=AE； ②∵GF⊥BC于点F，AD⊥BC于点D，BG平分∠ABC， ∴AD∥GF，AG=GF， 又∵AG=AE， ∴AE=GF， ∴四边形AEFG是平行四边形， 又∵AG=AE， ∴四边形AEFG为菱形； （2）由题意可知，在Rt△ABD中，AD=8，BD=6， ∴AB=10， ∵∠CAB=∠ADB=90°，∠ABD=∠CBA（公共角）， ∴△ABC∽△DBA， 故可求出AC= ，BC= ； 在△ADC中，由平行线分线段成比例可设AG=GF=x， 则x：AD=CG：AC， 即x：8= ： ， 解得：x=5， 所以AE的长为5．