Question

已知关于x的方程 mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线y=mx

已知关于x的方程 mx2+（3m+1）x+3=0．（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；（3）若点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在（2）中抛物线上 （点P、Q不重合），且y1=y2，求代数式4x12+12x1n+5n2+16n+8的值．

Answer 1

（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3．
当m≠0时，原方程为一元二次方程．
∵△=（3m+1）²-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0．
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数时，方程 mx²+（3m+1）x+3=0总有实数根．

（2）∵令y=0，则 mx²+（3m+1）x+3=0．
解得 x₁=-3，x2＝?

1

m

．
∵抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．

（3）∵点P（x₁，y₁）与Q（x₁+n，y₂）在抛物线上，
∴y1＝x12+4x1+3，y2＝(x1+n)2+4(x1+n)+3．
∵y₁=y₂，
∴x12+4x1+3＝(x1+n)2+4(x1+n)+3．
可得 2x1n+n2+4n＝0．
即  n（2x₁+n+4）=0．
∵点P，Q不重合，
∴n≠0．
∴2x₁=-n-4．
∴4

x

2 1

+12x1n+5n2+16n+8＝(2x1)2+2x1?6n+5n2+16n+8=（n+4）²+6n（-n-4）+5n²+16n+8=24．

Answer 2

（1）△=b^2-4ac
（3m+1）^2-4*m*3=9m^2-6m+1=(3m-1)^2≥0
因此此方程总有实数根