Question

设函数f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]（t∈R）的最小值为g（t），求g（t）的表达式

设函数f（x）=x2-2x+2，x∈[t，t+1]（t∈R）的最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，所以，其图象的对称轴为直线x=1，且图象开口向上．
①当t+1＜1，即t＜0时，f（x）在[t，t+1]上是减函数，所以g（t）=f（t+1）=t²+1；
②当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，函数f（x）在顶点处取得最小值，即g（t）=f（1）=1；
③当t＞1时，f（x）在[t，t+1]上是增函数，
所以g（t）=f（t）=t²-2t+2．
综上可得，g（t）=

t2+1 ，  t＜0 1 ，  0≤t≤1 t2?2t+2 ，t＞1

．