Question

已知（x+mx）n展开式的二项式系数之和为256．（1）求n；（2）若展开式中常数项为358，求m的值；（3）若（

已知（x+mx）n展开式的二项式系数之和为256．（1）求n；（2）若展开式中常数项为358，求m的值；（3）若（x+m）n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

Answer 1

（1）二项式系数之和为2ⁿ=256，可得n=8．
（2）设常数项为第r+1项，则Tr+1＝

C

r 8

x8?r(

m

x

)r＝

C

r 8

mrx8?2r，
故8-2r=0，即r=4，
则

C

4 8

m4＝

35

8

，解得m＝±

1

2

．
（3）易知m＞0，设第r+1项系数最大．
则

C r 8 mr≥ C r?1 8 mr?1 C r 8 mr≥ C r+1 8 mr+1.

化简可得

8m?1

m+1

≤r≤

9m

m+1

．
由于只有第6项和第7项系数最大，
所以

4＜ 8m?1 m+1 ≤5 6≤ 9m m+1 ＜7.

，即

5 4 ＜m≤2 2≤m＜ 7 2 .

，
所以m只能等于2．