如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；（1）求异面直线DC与PB所

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线PB和平面A... 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；（2）求直线PB和平面ABCD所成角的正弦值．（3）求二面角P-AB-C的余弦值． 展开
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1个回答
#热议# 为什么有人显老，有人显年轻？
小芫撂剪好2945
推荐于2016-02-08 · 超过57用户采纳过TA的回答
知道答主
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取AD，BC的中点M，N，连接PM，MN，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面AC
∴PM⊥平面AC
又∵MN?平面AC
∴PM⊥MN，
又∵MN⊥AD
故以M点为原点建立如图所示的坐标系，由AB=2，PA=PD=3得：
M（0，0，0），A（0，1，0），B（2，1，0），C（2，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，2
2
）
（1）直线PB的方向向量为
PB
=（2，1，2
2
），直线DC的方向向量为
DC
=（2，0，0）
设直线PB与直线DC所成的角为θ，则
cosθ=
|
PB
?
DC
|
|
PB
|?|
DC
|
=
4
2
 13
=
2
 13
13

所以，异面直线DC与PB所成的角的余弦值为
2
 13
13

（2）由PM⊥平面AC，故平面AC的一个法向量为
MP
=（0，0，2
2
），直线PB的方向向量为
PB
=（2，1，2
2
），
设直线PB和平面ABCD所成角为α
则sinα=
|
MP
?
PB
|
|
MP
|?|
PB
|
=
8
2
 2
?
 13
=
2
 26
13

所以，直线PB和平面ABCD所成角的正弦值为
2
 26
13

（3）设平面PAB的一个法向量为
n
=（x，y，1）则
n
⊥
PB
，
n
⊥
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