Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论中正确的结论有（ ）个①EF是△ABC的中位线．②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=2n，则S △ AEF =mn；④ ； （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个





Answer 1

C

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°﹣ ∠A， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+ ∠A；故①正确； 过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA， ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ON=OD=OM=m， ∴S △ AEF =S △ AOE +S △ AOF = AE?OM+ AF?OD= OD?（AE+AF）= mn；故③正确； ∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠EAB=∠OBC，∠FCO=∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB， ∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO， ∴EB=EO，FO=FC， ∴EF=EO+FO=BE+CF， ∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故④正确． ∴其中正确的结论是①③④．故选C．