Question

（2010?东城区二模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PA

（2010?东城区二模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12AD，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB，
所以AD⊥PE．（2分）
又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，
所以PE⊥AB．
因为AD∩AB=A，
所以PE⊥平面ABCD．（4分）
而CD?平面ABCD，
所以PE⊥CD．（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：PE⊥平面ABCD，所以PE是四棱锥P-ABCD的高．
由DA=AB=2，BC=

1

2

AD，可得BC=1．
因为△PAB是等边三角形，
可求得PE=

3

．
所以VP?ABCD＝

1

3

SABCD?PE＝

1

3

×

1

2

(1+2)×2×

3

＝

3

．（9分）
（Ⅲ）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
则E（0，0，0），C（1，-1，0），D（2，1，0），P（0，0，

3

）．

ED

＝(2，1，0)，

EP

＝(0，0，

3

)，

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