Question

如图1，已知双曲线y1=kx（k＞0）与直线y2=k′x交于A、B两点，其中点A在第一象限．试解答下列问题：（1）

如图1，已知双曲线y1=kx（k＞0）与直线y2=k′x交于A、B两点，其中点A在第一象限．试解答下列问题：（1）若点A的坐标为（3，2），则点B的坐标为______；当x满足______时，y1＜y2；（2）如图2，过点O另作一直线l，交双曲线于P、Q两点，且点P在第一象限内．①四边形APBQ的形状一定是______；②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积；③设点A、P的横坐标分别为x1、x2，是否存在这样的直线PQ，使得∠APB为直角？若存在，求x1、x2应满足的条件；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵双曲线y₁=kx（k＞0）经过A（3，2）点，
∴2=

k

3

，解得：k=6，
∴双曲线解析式为：y=6x，
∵直线y₂=k′x经过A（3，2），
∴2=3k′，解得：k′=

2

3

，
∴直线AB为：y=

2

3

x，
解

y＝ 6 x y＝ 2 3 x

得

x＝3 y＝2

或

x＝?3 y＝?2

∴B（-3，-2）；
∵双曲线在每一象限y随x的增大而减小，直线y随x的增大而增大，
∴根据图象可知，-3＜x＜0，或x＞3时，y1＜y2；

（2）①∵AB、PQ是中心对称图形，
∴AO=OB，PO=OQ
∴四边形APBQ是平行四边形；
②∵A点的坐标是（3，1）
∴双曲线为y=

3

x

，
∵点P的横坐标为1，
∴P点坐标为（1，3），
过A作x轴的垂线CD交x轴于C，可得直角梯形OPDC，过P作PD⊥DC，垂足为D，
∴D（3，3），
∵S梯形=

1

2

（PD+OC）?DC=

1

2

（2+3）×3=

15

2

，S△APD=

1

2

PD?AD=

1

2

×2×2=2，S△OAC=

1

2

OC?AC=

1

2

×3×1=

3

2

，
∴S△AOP=S梯形-S△APD-S△OAC=4，
∴S平行四边形=4S△AOP=16．

③∵当x1?x2=k时，此时A（x1，x2），P（x2，x1），
∴OA=OP，对角线相等且平分的四边形是矩形，
∴四边形APBQ是矩形，
∴∠APB为直角．