Question

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．（1）求f（0）；（2）求f（

函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x成立，且f（1）=0．（1）求f（0）；（2）求f（x）；（3）不等式f（x）＞ax-5当0＜x＜2时恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）令x=1，y=0，
得f（1+0）-f（0）=（1+2×0+1）?1=2，
∴f（0）=f（1）-2=-2．
（2）令y=0，f（x+0）-f（0）=（x+2×0+1）?x=x²+x，
∴f（x）=x²+x-2．
（3）f（x）＞ax-5化为x²+x-2＞ax-5，
ax＜x²+x+3，∵x∈（0，2），
∴a＜

x2+x+3

x

=1+x+

3

x

．
当x∈（0，2）时，1+x+

3

x

≥1+2

3

，当且仅当x=

3

x

，
即x=

3

时取等号，由

3

∈（0，2），
得（1+x+

3

x

）_min=1+2

3

，∴a＜1+2

3

．