Question

求方程y"-5y'+6y=xe^2x的通解

Answer 1

这是非齐次线性微分方程,它对应的齐次方程为: y"-5y'+6y=0...(1) 特征方程为: r^2-5r+6=0,即(r-2)(r-3)=0 其解为:r=2,r=3。

因此(1)的解为:y=c1e^2x+c2e^3x,其中c1,c2为任意常数。 下面运用常数变易法,设原方程中 y=c1(x)e^2x+c2(x)e^3x。

方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。

然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。

Answer 2

这是非齐次线性微分方程,它对应的齐次方程为:

y"-5y'+6y=0...(1)

特征方程为:

r^2-5r+6=0,即(r-2)(r-3)=0

其解为:r=2,r=3

因此(1)的解为:y=c1e^2x+c2e^3x,其中c1,c2为任意常数。

下面运用常数变易法,设原方程中

y=c1(x)e^2x+c2(x)e^3x...(2)

则c1'(x),c2'(x)满足:

c1'(x)e^2x+c2'(x)e^3x=0...(3)

c1'(x)·2e^2x+c2'(x)·3e^3x=xe^2x...(4)

(3)×3-(4)得

c1'(x)=-x

(4)-(3)×2得

c2'(x)=xe^(-x)

积分得

c1(x)=-0.5x^2+c1

c2(x)=(-x-1)e^(-x)+c2

代入(2)得

y=-0.5x^2·e^2x+(-x-1)e^2x+c1e^2x+c2e^3x,

即y=-(0.5x^2+x)e^2x+ce^2x+c2e^3x,

其中c,c2为任意常数(这里c=c1-1)。

扩展资料

可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。

求向量组的极大无关组的一般步骤：

1. 把向量组作为矩阵的列向量构成一个矩阵；

2. 用初等行变换将该矩阵化为阶梯阵；

3.主元所在列对应的原向量组即为极大无关组。

求齐次线性方程组通解要先求基础解系，步骤：

a. 写出齐次方程组的系数矩阵A；

b. 将A通过初等行变换化为阶梯阵；

c. 把阶梯阵中非主元列对应的变量作为自由元（n – r 个）；

d.令自由元中一个为 1 ，其余为 0 ，求得 n – r 个解向量，即为一个基础解系。

Answer 3

把齐次通和非齐特求出来即可

Answer 4

这是非齐次线性微分方程,它对应的齐次方程为:
y"-5y'+6y=0...(1)
特征方程为:
r^2-5r+6=0,即(r-2)(r-3)=0
其解为:r=2,r=3
因此(1)的解为:y=c1e^2x+c2e^3x,其中c1,c2为任意常数。
下面运用常数变易法,设原方程中
y=c1(x)e^2x+c2(x)e^3x...(2)
则c1'(x),c2'(x)满足:
c1'(x)e^2x+c2'(x)e^3x=0...(3)
c1'(x)·2e^2x+c2'(x)·3e^3x=xe^2x...(4)
(3)×3-(4)得
c1'(x)=-x
(4)-(3)×2得
c2'(x)=xe^(-x)
积分得
c1(x)=-0.5x^2+c1
c2(x)=(-x-1)e^(-x)+c2
代入(2)得
y=-0.5x^2·e^2x+(-x-1)e^2x+c1e^2x+c2e^3x,
即y=-(0.5x^2+x)e^2x+ce^2x+c2e^3x,
其中c,c2为任意常数(这里c=c1-1)。

追问

能写下过程么

追答

上面就是计算步骤 你看看

Answer 5