Question

高数极限等价无穷小问题，书上的证明最后一步不太懂，求助攻！（具体见图）

Answer 1

lim(√1+x² -1)/(x²/2)
=lim(1+x²-1)/[x²(√(1+x²)+1)/2]
=lim 2x²/x²(√(1+x²) +1)
=lim 2/(√(1+x²)+1)
当x→0时，分母→2，故lim分式=1
∴√1+x² -1~1/2x²

追问

不是，我知道这个，我想问用这个结果怎么推出来的倒数第二行波浪线的那个式子

就是为什么x+√1+x² -1~x可以帮看下这个嘛？

追答

∵√(1+x²)-1~1/2x²，∴x+√(1+x²)-1~x+1/2x²，1/2x²是比x高阶的无穷小，∴x+1/2x²~x。

追问

😭不是应该等阶无穷小的时候才能等价的吗？证明题不都证明的是＝1才说是可以等价的么？

追答

x+o(x)~x。

x+o(x)~x。

x+o(x)~x。

追问

我好像明白了，意思是一个函数加上一个比它高阶无穷小的函数，那个函数就可以忽略了，是这样吗？

追答

lim (x+1/2x²)/x
=lim 1+1/2x
=1