Question

任意两个无理数之间是否还有一个有理数

Answer 1

是的，任意两个无理数之间还有一个有理数。

以下是无理数的相关介绍：

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。

以上资料参考百度百科——无理数

Answer 2

是的。设a, b是两个无理数，且a<b.
假设它们的小数形式从第m位开始不相同，那都去掉第m位以后的数，成为a', b'，显然a', b'都为有限小数，也就是有理数；
如果b为正数，那么b'即是位于a, b之间的有理数；
如果b为负数，那么a'即是位于a,b之间的有理数。
比如
a=1.2341024054249...
b=1.2343552359353...
从第5位开始不相同，去掉第5位以后的数，则有
a'=1.2341
b'=1.2343
这样b'就是(a, b)之间的有理数。

Answer 3

是的，可以说任意两个不相等的有理数之间还有无数个有理数。
最常见的就是两个有理数的平均值，它是有理数，且在此两数之间。
事实上，设a<b,为两个有理数，
令k=n/m为（0，1）之间的任一有理数，m>n>0，m, n为正整数。
则a+k(b-a) 就是位于(a, b)区间的有理数，取不同的k, 就构成不同的有理数。

Answer 4

　　任意两个不同的无理数的无限小数必定有处于相同位置而不同的数，在整数部分就很明显了，在小数部分就可以适当选取循环。
　　可设0<a<b==>有正整数n>2/(b-a)《==》（b-a）/2>1/n，
取最小正整数k使，b≤k/n==》(k-1)/n<b,
b-(k-1)/n≤1/n<（b-a）/2<b-a==>a<(k-1)/n<b.