Question

1：若当n→∞，Un的极限≠0，则∑Un发散 2：若∑Un收敛，则∑Un^2也收敛

判断这两个命题的正确与否，并写出原因，详细一点
条件就这么多，没有其他条件了

Answer 1

第一个命题正确，若级数收敛，则Un极限为0.很好证明，limSn=A,limS(n-1)=A
Un=Sn-S(n-1),则limUn=lim(Sn-S(n-1))=A-A=0.
第一个命题是其逆否命题，是等价的。
第二个命题是假命题。举例：通项为(-1)^n / √n.这是个交错级数，根据莱布尼茨判别法可以知道收敛。但是un^2为1/n,调和级数，显然发散

Answer 2

第一个正确，根据级数收敛的必要条件

第二个错误，可以反例，详情如图所示