Question

向量组的维数大于个数 如何判断线性相关性

如果是向量组的维数等于向量组的个数，我会判断以列向量构成的系数行列式是否为零，然而当向量组的维数大于个数我自己想 估计如果不用矩阵的知识只能列方程了吧。特别是某个向量中还含有零 例如判断a1（1,-1,2,4） a2(0,3,1,2) a3(3,0,7,14) 的线性相关性,我列出方程
k1+k3=0
-k1+3k2=0
2k1+k2+7k3=0
4k1+2k2+14k3=0
我这个人比较笨,不会给这样的方程配解.
所以我就有两个问题：
当向量组的维数大于向量的个数 如果不用阶梯矩阵 的方法是不是就只有列方程组？
这个方程组能不能有办法凑出解

Answer 1

要求n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合。

向量a1，a2， ···，an（n≧2）线性相关的充要条件为这n个向量中的一个为其余（n-1）个向量的线性组合，一个向量线性相关的充分条件为它是一个零向量。

一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。

扩展资料：

线性相关的相关要求规定：

1、增加向量的个数，不改变向量的相关性。减少向量的个数，不改变向量的无关性。

2、当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而线性相关。

3、次线性方程组的系数矩阵秩r（A）=n，方程组有唯一零解。齐次线性方程组的系数矩阵秩r（A）<n，方程组有无数多解。

参考资料来源：百度百科-线性相关

Answer 2

向量组的维数n大于个数m，若向量组线性无关，则其秩等于m；若向量组线性相关，则其秩小于m。

证明如下