Question

如何判断向量组是否线性相关？

Answer 1

判断向量组线性相关性的方法:写成矩阵形式,然后通过行变换,化为行最简形,得到矩阵的秩；得出矩阵的秩,用来和向量个数比较；因为向量组组成的矩阵的秩小于向量个数,所以得出。
在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立(linearlyindependent)，反之称为线性相关(linearlydependent)。
例如在三维欧几里得空间R3的三个矢量(1,0,0)，(0,1,0)和(0,0,1)线性无关。但(2,_1,1)，(1,0,1)和(3,_1,2)线性相关，因为第三个是前两个的和。向量a1,a2,···,an(n_2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。
两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。空间中任意四个向量总是线性相关。

Answer 2

定义法令向量组的线性组合为零，研究系数的取值情况，线性组合为零当且仅当系数皆为零，则该向量组线性无关；若存在不全为零的系数，使得线性组合为零，则该向量组线性相关。

线性相关定理

在线性代数里，矢量空间的一组元素中，若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立，反之称为线性相关。

例如在三维欧几里得空间R的三个矢量(1，0，0)，(0，1，0)和(0，0，1)线性无关；但(2，−1，1)，(1，0，1)和(3，−1，2)线性相关，因为第三个是前两个的和。

线性无关和线性相关

1、对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

4、含有相同向量的向量组必线性相关。