Question

线性代数方程组问题 怎么取的自由未知量，怎么代回的方程

线性代数方程组问题
怎么取的自由未知量，怎么代回的方程

Answer 1

一、系数矩阵 A 行初等变换化为 B，实际上就是线性方程组同解变形为

x1 +x2 -3x4-x5 = 0

-2x2+2x3+2x4+x5 = 0

3x4-x5 = 0

r(A) = 3, 未知数个数 n = 5

应有 5 - 3 = 2 个自由未知量，即基础解系含有 2 个线性无关的解向量。

每个独立方程均含 x5， 则 x5 可设为自由未知量；

由第 3 个方程知， x4 = (1/3)x5, 故 x4 不能再设为自由未知量，

故再选 x3 为自由未知量。最好不用回代法，改用下法：

将自由未知量移至方程右边得

x1 +x2 -3x4 = x5

-2x2+2x4 = -2x3-x5

3x4 = x5

取 x3 = 1, x5 = 0, 得基础解系 (-1, 1, 1, 0, 0)^T,

取 x3 = 0, x5 = 6, 得基础解系 (7, 5, 0, 2, 6)^T.

则该齐次线性方程组的通解是

x = k (-1, 1, 1, 0, 0)^T+ c (7, 5, 0, 2, 6)^T

其中， k， c 为任意常数。

（此处 k 就是答案中的 k1， c 就是答案中的 k2 的2倍）

二、确定自由变量并赋值：

（1） 对系数矩阵作初等 ” 行 “ 变换化为阶梯型；（注意是行变换）

（2）由秩r（A）确定自由变量的个数 n - r（A）

（3）找出一个秩为r（A）的矩阵，则其余的n - r（A）列对应的就是自由变量

（4）每次给一个自由变量赋值 为1 ，其余的自由变量赋值为0（注意共赋值n - r（A）次）

对阶梯型方程组由下往上依次求解，就可得到方程组的解。

扩展资料：

每一个线性空间都有一个基。

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

参考资料来源：百度百科-线性代数

Answer 2

系数矩阵 A 行初等变换化为 B，实际上就是线性方程组同解变形为
x1 +x2 -3x4-x5 = 0
-2x2+2x3+2x4+x5 = 0
3x4-x5 = 0
r(A) = 3, 未知数个数 n = 5
应有 5 - 3 = 2 个自由未知量，即基础解系含有 2 个线性无关的解向量。
每个独立方程均含 x5， 则 x5 可设为自由未知量；
由第 3 个方程知， x4 = (1/3)x5, 故 x4 不能再设为自由未知量，
故再选 x3 为自由未知量。最好不用回代法，改用下法：
将自由未知量移至方程右边得
x1 +x2 -3x4 = x5
-2x2+2x4 = -2x3-x5
3x4 = x5
取 x3 = 1, x5 = 0, 得基础解系 (-1, 1, 1, 0, 0)^T,
取 x3 = 0, x5 = 6, 得基础解系 (7, 5, 0, 2, 6)^T.
则该齐次线性方程组的通解是
x = k (-1, 1, 1, 0, 0)^T+ c (7, 5, 0, 2, 6)^T
其中， k， c 为任意常数。
（此处 k 就是答案中的 k1， c 就是答案中的 k2 的2倍）