Question

高等数学，关于极限中无穷小量省略问题，我做了如下证明，感觉可以说明两个量相加时，高阶无穷小量可以省

高等数学，关于极限中无穷小量省略问题，我做了如下证明，感觉可以说明两个量相加时，高阶无穷小量可以省略。但是有出现了新问题。。。。求解答！

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Answer 1

答：
1、首先，虽然limα(x)=limβ(x)=0，但是用β(x) = o[α(x)]就是错的！因为，β(x)和α(x)是否是同阶无穷小就不知道，怎么能用其中一个表示另一个呢？万一，α(x)是比β(x)高阶呢？
2、其次，你自己也说了是等价无穷小，而不是等于无穷小，等价无穷小之间是“～”不是“=”，因此，你的等式根本就不能成立！实际上，等价无穷小是替换，不是等于，因此：等价无穷小不能四则运算！例如：α1(x)～α2(x)，而β1(x)～β2(x)，那么：
α1(x)+β1(x) ≠ α2(x)+β2(x)，因为，α1(x)～α2(x)是在x→0时，两者有同向、同等的趋近于0的趋势，但是两者绝不是等于的关系！
3、在求极限中，我们关心的是因变量趋近于0的趋势，因此才能替换！所以，α1(x)·β1(x) ～ α2(x)·β2(x)是成立的，而α1(x)·β1(x) = α2(x)·β2(x)也是错误的！
4、同理：α1(x)+β1(x) ～ α2(x)+β2(x)也是错误的！

Answer 2

最后那个根号x求极限的做法似乎也是错误的。0比0型的，需要用到洛必达法则，而不是简单因为分子是0，就得出0的结论。况且，我不太明白，如果根号x在分子端和分母端都一样，就可以约分掉了，为什么还要曲折一下？

Answer 3

你在忽略x的时候不应该先考虑一下分母的感受吗

Answer 4

哈哈，有意思