Question

高数大神帮忙，求微分方程的通解或特解，第4题的1,3,5,7

Answer 1

求微分方程的通解或特解
(1). 2y''+y'-y=2e^x
解：齐次方程2y''+y'-y=0的特征方程 2r²+r-1=(2r-1)(r+1)=0的根 r₁=1/2，r₂=-1;
故齐次方程的通解为 y=c₁e^(x/2)+c₂e^(-x)
设原方程的特解为 y*=(ax+b)e^x
y*'=ae^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x
y*''=ae^x+(ax+a+b)e^x=(ax+2a+b)e^x
代入原式得：2(ax+2a+b)e^x+(ax+a+b)e^x-(ax+b)e^x=(2ax+5a+2b)e^x=2e^x
故a=0，5a+2b=2b=2，得b=1.
于是得特解 y*=e^x
故原方程的通解为 y=c₁e^(x/2)+c₂e^(-x)+e^x
(3). 2y''+5y'=x
解：齐次方程2y''+5y'=0的特征方程 2r²+5r=r(2r+5)=0的根r₁=0; r₂=-5/2;
故齐次方程的通解为 y=c₁+c₂e^[(-5/2)x]
设原方程的特解为 y*=ax²+bx
y*'=2ax+b；y*''=2a；
代入原式得 4a+5(2ax+b)=10ax+4a+5b=x
故10a=1，a=1/10；4a+5b=2/5+5b=0, ∴b=-2/25.
∴y*=(1/10)x²-(2/25)x
于是得通解为 y=c₁+c₂e^[(-5/2)x]+(1/10)x²-(2/25)x
(5). y''-6y'+9y=e^(3x)
解：齐次方程y''-6y'+9y=0的特征方程 r²-6y+9=(r-3)²=0 有重根r=3.
故齐次方程的通解为 y=(c₁+c₂x)e^(3x).
设原方程的特解为 y*=ax²e^(3x)【注意r=3正好与e^(3x)中的3相等】
y*'=2axe^(3x)+3ax²e^(3x)=(3ax²+2ax)e^(3x)；
y*''=(6ax+2a)e^(3x)+3(3ax²+2ax)e^(3x)=(9ax²+12ax+2a)e^(3x)；
代入原式得
(9ax²+12ax+2a)e^(3x)-6(3ax²+2ax)e^(3x)+9ax²e^(3x)=2ae^(3x)=e^(3x)
故2a=1，a=1/2；∴y*=(1/2)x²e^(3x)
于是得通解为 y=[c₁+c₂x+(1/2)x²]e^(3x).
(7).y''-3y'+2y=5；y(0)=1; y'(0)=2.
解：齐次方程y''-3y'+2y=0的特征方程 r²-3r+2=(r-1)(r-2)=0的根r₁=1,r₂=2;
故齐次方程的通解为 y=c₁e^x+c₂e^(2x)
设原方程的特解为 y*=a；y*'=0；y*''=0
代入原式得 2a=5，故a=5/2；于是y*=5/2
∴原方程的通解为y=c₁e^x+c₂e^(2x)+5/2
两边求导得y'=c₁e^x+2c₂e^(2x)
代入初始条件y(0)=1得 1=c₁+c₂+5/2.........(1)
再代入初始条件y'(0)=2得2=c₁+2c₂............(2)
(1)(2)联立解得 c₁=-5；c₂=7/2.
故原方程的特解为 y=-5e^x+(7/2)e^(2x)+5/2.