Question

已知f（x）为定义在R上的函数，求证：f（x）可以写成一个偶函数和一个奇函数的和.

Answer 1

证明：∵f(x)的定义域关于原点对称，
∴f(-x)，f(x)皆有意义，
又∵ f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
设 h(x)=[f(x)+f(-x)]/2，g(x)=[f(x)-f(-x)]/2
∵g(x)，h(x)的定义域都是关于原点对称的，
① ，g(-x)=[f(-x)-f(+x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)∴g(x)是奇函数；
② ，h(-x)=[f(-x)+f(+x)]/2=h(x)∴h(x)是偶函数；
综上可知，f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

Answer 2

解：令f(x)=g(x)+h(x)
g(x)是定义在R的偶函数，h(x)是定义在R上的奇函数，
f(x)的定义域为R交R=R
g(x)是偶函数，g(-x)=g(x)
h（x)为奇函数，h(-x)=-h(x)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)

只能取特例，
比如f(x)=x^2+x
g(x)=x^2,h(x)=x
g(x)是R上的偶函数，h(x)是R上的奇函数，
f(x)能表示成一个奇函数和一个偶函数的和。