Question

大一微积分：数列的极限。概念问题

定义是：如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正整数N，当n＞N时，|yn-A|＜ε 恒成立。则称当n趋于无穷大时，数列yn以常数A为极限。
n与N有什么关系？为什么式子中没有体现N？而且我觉得极限引入ε 就够了，为什么还要有n、N？n的作用是什么？

Answer 1

n与N的关系是：n>N
N的存在是有必要的
概念已经不容质疑了，用了几百年了
有的函数或数列在n<N时，取值可能大于无穷时的极限
但这并不影响无穷时的极限
为了不等式恒成立
需要存在一个N

Answer 2

因为|yn-A|小于任意给点的任意小的正数ε，是在n无限增大的前提下才是成立的，所以{yn}的前有限项是不可能满足|yn-A|＜ε的，但因为n在无限增大，所以一定会找到正整数N，除去前N项，从第N+1项开始，|yn-A|＜ε是恒成立的。很明显的，这里的正整数N是与ε有关的。

数列{yn}是否以常数A为极限的关键是，对于任意小的正数ε，是否都能“找到”正整数N，使得n＞N时，|yn-A|＜ε恒成立。
N的确定才是关键的。