Question

线性代数，这题，AX=0与BX=0没有非零的公共解，为什么两个向量组线性无关？

线性代数，这题，AX=0与BX=0没有非零的公共解，为什么两个向量组线性无关？第19题

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Answer 1

因为两方程无非零公共解，所以AX=0的基础解系不是BX=0的解，即若AX₀=0,那么BX₀≠0,也就是说X₀不能被BX=0的基础解系线性表示(因为若X₀能被表示，则X₀为BX=0的解)，这就说明，两基础解系线性无关

Answer 2

可以证明：Ax=0和Bx=0有非零公共解的充分必要条件是：
这两个方程的基础解系组合在一起的向量组是线性相关的。
这个证明你自己证一下，不难的。
现在无非零公共解，因此线性无关。

Answer 3

设存在不全为零的k1,...kr,l1,...ls 使得 k1α1+...+krαr+l1n1+...+lsns=0
假设k1不等于0,则必然存在不全为零的l1,...ls使得l1n1+...+lsns=0（因为α1,α2,...,αr线性无关），在假设l1不等于0
在上面的条件下左乘A得 A(l1n1+...+lsns)=0;
你会发现l1n1+...+lsns即使AX=0的解，又是BX=0的解
矛盾，所以不存在不全为零的k1,...kr,l1,...ls 使得 k1α1+...+krαr+l1n1+...+lsns=0

Answer 4

有公共解，不就是 k1α1+……knαn=k1β1+……k2β2
了么？

Answer 5

两个基础解系各写成通解联立等式，因为没有非零公共解，所以等式成立只有当系数全取零时成立，也就是线性无关的定义。