已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边,满足bcosC+√3bsinC-a-c=0
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解:
bcosC+√3bsinC-a-c=0
b(cosC+√3sinC)=a+c
sinB(cosC+√3sinC)=sinA+sinC
sinBcosC+√3sinBsinC=sin(B+C)+sinC
sinBcosC+√3sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC
√3sinBsinC=(cosB+1)sinC
√3sinB=cosB+1
√3sinB-cosB=1
√3/2sinB-1/2cosB=1/2
sin(B-30°)=1/2
B-30°=30°,B=60°
或B-30°=150°,B=180°(舍去),
延长BD到E,使DE=BD,连接AE,
则△BDC≌△EDA,
∴AE=BC=2,∠BAE=120°,
根据余弦定理,
BE²=AB²+AE²-2AB×AEcos∠BAE
(2√21)²=2²+c²-2×2×c×cos120°
84=4+c²+2c
c²+2c-80=0
(c+10)(c-8)=0
c=-10(舍去),
c=8,
S△ABC=1/2acsinB=1/2×2×8×sin60°=4√3.
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