已知a,b,c分别为△ABC三个内角ABC的对边,满足bcosC+√3bsinC-a-c=0

若a=2,且AC边上的中线BD长为√21,求△ABC的面积... 若a=2,且AC边上的中线BD长为√21,求△ABC的面积 展开
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sh5215125
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2017-01-12 · 说的都是干货,快来关注
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解:

bcosC+√3bsinC-a-c=0

b(cosC+√3sinC)=a+c

sinB(cosC+√3sinC)=sinA+sinC

sinBcosC+√3sinBsinC=sin(B+C)+sinC

sinBcosC+√3sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC

√3sinBsinC=(cosB+1)sinC

√3sinB=cosB+1

√3sinB-cosB=1

√3/2sinB-1/2cosB=1/2

sin(B-30°)=1/2

B-30°=30°,B=60°

或B-30°=150°,B=180°(舍去),

延长BD到E,使DE=BD,连接AE,

则△BDC≌△EDA,

∴AE=BC=2,∠BAE=120°,

根据余弦定理,

BE²=AB²+AE²-2AB×AEcos∠BAE

(2√21)²=2²+c²-2×2×c×cos120°

84=4+c²+2c

c²+2c-80=0

(c+10)(c-8)=0

c=-10(舍去),

c=8,

S△ABC=1/2acsinB=1/2×2×8×sin60°=4√3.

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