Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且bcosC=a-12c．（1）求角B的大小；（2）若b=1，求△ABC的

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，且bcosC=a-12c．（1）求角B的大小；（2）若b=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

（1）在△ABC中，有sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
由正弦定理得：a=bcosC+ccosB，
又bcosC=a-

1

2

c，代入得：ccosB?

1

2

c＝0，即cosB=

1

2

，
又B为△ABC的内角，∴B=

π

3

；
（2）由b=1，sinB=

3

2

，
根据正弦定理得：a=

bsinA

sinB

=

2

3

sinA，c=

bsinC

sinB

=

2

3

sinC，
∴l=a+b+c=1+

2

3

（sinA+sinC）=1+

2

3

[sinA+sin（A+B）]
=1+

2

3

[sinA+sin（A+

π

3

）]
=1+

2

3

（sinA+

1

2

sinA+

3

2

cosA）
=1+2（

3

2

sinA+

1

2

cosA）
=1+2sin（A+

π

6

）（12分）
∵B=

π

3

，∴A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴sin(A+

π

6

)∈(

1

2

，1]
于是l=1+2sin（A+

π

6

）∈（2，3]，
故△ABC的周长l的取值范围为（2，3]．