Question

讨论分段函数的连续性和可导性

Answer 1

1、连续性证明：
左极限=lim（x→0-）f（x）=lim（x→0-）x（用x=0左边的函数式，即x＜0的函数式求）
=0
右极限=lim（x→0+）f（x）=lim（x→0+）x²（用x=0右边的函数式，即x＞0的函数式求）
=0
左右极限相等，所以极限存在，即lim（x→0）f（x）=0
而根据题意，f（0）=0²=0=lim（x→0）f（x），在x=0点处极限值=函数值，所以在x=0点处连续。
2、可导性证明：
因为在x=0点处连续，所以可以直接用函数表达式求左右导数
左导数=（x）'（用x=0左边的函数式，即x＜0的函数式求）=1
右导数=（x²）'（用x=0右边的函数式，即x＞0的函数式求）=2x=2*0=0
所以在x=0点处的左导数=1，右导数=0，左右导数不相等，f（x）在x=0点处不可导。