Question

高数 函数与积分

高数 函数与积分这道题如果根据几何意义 在图中表示出来怎么画啊 详细解释！谢谢！

Answer 1

如果 f'(x)<0，函数递减；f ''(x) > 0，函数下凸，

S1 是曲边梯形的面积，S2 是矩形面积，S3 是梯形面积，

所以 S2 < S1 < S3 。

选 B

Answer 2

由题意：f'（x）＜0．f''（x）＞0，可以函数在区间[a，b]上单调减少且是凹函数，
根据函数单调性有：f（b）＜f（a）＜f（b），x∈（a，b）
根据凹函数定义有：f（x）＜g（x）=f（a）+
f(b)?f(a)
b?a
(x?a)；
显然：g（x）=f（a）+
f(b)?f(a)
b?a
(x?a)为过（a，f（a）），（b，f（b））两点的直线方程，
因此有：f（b）＜g（x）＜f（a），x∈（a，b）
综上有：f（b）＜f（x）＜f（a）+
f(b)?f(a)
b?a
(x?a)＜f（a）
根据积分保号性有：
∫
b
a
f(b)dx＜
∫
b
a
f(x)dx＜
∫
b
a
[f(a)+
f(b)?f(a)
b?a
(x?a)]dx
又：
∫
b
a
f(b)dx=f（b）（b-a）=S2
∫
b
a
f(x)dx=S1；
∫
b
a
[f(a)+
f(b)?f(a)
b?a
(x?a)]dx=f（a）（b-a）+
b2?a2
2
f(b)+f(a)
b?a
?a(b?a)
f(b)?f(a)
b?a

=
1
2
[f（a）+f（b）]（b-a）=S3
因此：S2＜S1＜S3．
故本题选：B．

Answer 3

如图