Question

必采！证明：当平面直角坐标系中两直线垂直时,其函数解析式中k的值互为负倒数，即两个k值的乘积为-1

Answer 1

• 假设两条直线的交点为(x₀,y₀) ,斜率分别为k₁、k₂

  则直线y=k₁(x-x₀)+y₀ y=k₂(x-x₀)+y₀→k₂x-y-k₂x₀+y₀=0

  两直线垂直，任意一条直线上的任意一点到交点的距离=该点到另一条直线的距离。

  (x₁-x₀)²+[k₁(x-x₀)+y₀-y₀]²=|k₂x₁-k₁(x₁-x₀)+y₀-k₂x₀+y₀|²/(k₂²+1)

  (x₁-x₀)²(1+k₁²)(1+k₂²)=|(k₂-k₁)(x₁-x₀)|²

  (1+k₁²)(1+k₂²)=(k₂-k₁)²

  1+k₁²k₂²=-2k₂·k₁

  (k₁k₂+1)²=0→k₁k₂=-1

  当然，用三角函数更方便证明：k₁=tanα,则k₂=tan(π/2+α)=-cotanα （奇变偶不变，符号看象限）→k₁·k₂=tanα·-cotanα=-1

Answer 2

两种方法
1是利用k的定义,设l1的倾斜角为θ1,l2的倾斜角为θ2,则k1=tanθ1,k2=tanθ2
不妨设l1,l2交於C,l1与x轴交於A,l2与x轴交於B,且A在B的左边,则θ1=∠CAB,θ2=90°+∠CAB

∴tanθ2=tan(90°+θ1)=-cotθ1
∴k1k2=tanθ1*(-cotθ1)=-1
2是利用数量积的关系,直线l1的方向向量为(1,k1),l2的方向向量为(1,k2).两条直线垂直则有方向向量垂直.垂直就有1+k1k2=0,∴k1k2=-1

Answer 3

两者的斜率k1=tanA,k2=tanB
因为两条直线垂直所以
A+π/2=B
tanA*tanB=tanA*tan(A+0.5π)=tanA*(-1/tanA)=-1=k1*k2