Question

矩阵的秩的问题，如图

矩阵的秩的问题，如图怎知道可逆的？为什么A+AB=A?

Answer 1

如 解析，矩阵（E+B）经过初等变换非零行数为0，因此为满秩矩阵，满秩矩阵等价于可逆矩阵，因此E+B可逆。
此外，A+AB不等于A,但是 A+AB 和A的秩是相等的，解析中的r（）就代表某矩阵的秩，因为E+B是可逆矩阵，且A+AB=A(E+B) ，所以 A+AB经过初等变换（左边乘(E+B)的逆矩阵）即可得到A,根据定理，经过初等变换，矩阵的秩不改变，所以r（A+AB）=r（A）。