Question

高等数学微分方程

第一题，打圈圈的，为什么要分x 大于0和x 小于0讨论！？

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Answer 1

（1）xy' - y - √(y^2-x^2) = 0
对于齐次方程 一般作变换 y = xu, 则化为
x^2du/dx = √[x^2(u^2-1)]
x^2du/dx = |x|√(u^2-1)
x > 0 时化为 xdu/dx = √(u^2-1) ， 即分离变量为 du/√(u^2-1) = dx/x；
x < 0 时化为 xdu/dx = -√(u^2-1) ， 即分离变量为 du/√(u^2-1) = -dx/x.
所以要讨论 x 的正、负情况。

Answer 2

解：微分方程为xy'-y-√(y²-x²)=0，化为

y'=[y+√(y²-x²)]/x，设y=ux，有(ux)'=[ux+√(u²x²-x²)]/x，u'x+u=u±√(u²-1)，u'x=±√(u²-1)，

du/√(u²-1)=±dx/x，ln|u+√(u²-1)|=±ln|x|+ln|c|(c为任意非零常数)，u+√(u²-1)=cx或u+√(u²-1)=c/x，

当x＞0时，有c²x²-2cxu+1=0；当x＜0时，有

c²/x²-2cu/x+1=0；微分方程的通解为c²x²-2cy+1=0(x＞0)或c²-2cy+x²=0(x＜0)

请参考

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。

解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。

微分方程求解泛函

如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。

现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。