如何看待线性空间和线性变换的重要性
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1. 从应用的角度考虑,线性空间与线性变换是处理类似问题的一个统一模式。比如,对函数的求导数是一个线性变换,平面上向量的旋转是一个线性变换,等等。
2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则,任何其它的概念与性质都是由这些导出的。线性变换是和这两个运算相容的映射或变换:先运算后变换与先变换后运算的结果一致。
3. 在某种意义下,线性变换可以等同于矩阵。线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。
4. 线性变换是线性映射的特例。线性映射是比较两个线性空间的主要工具,最基本的问题是如何判断两个线性空间同构,即,它们之间是否存在保持运算的双射。
5. 两个代数结构之间的保持运算的映射,称为同态(更一般的概念是对象之间的态射,这是范畴与函子的语言)。线性空间是非常基本的代数结构,线性映射正是这种代数结构之间的同态。
6. 线性变换研究的基本问题是:化简问题。线性变换由它在一组基上的取值所唯一确定。化简是指:如何选取适当的基,使得线性变换在这组基下的矩阵具有简单的形式,简单的矩阵一般指对角矩阵(两个对角矩阵乘积可交换)。这就引出特征值与特征向量的概念以及一些列的问题。
7. 要求特征值,就要求多项式的根,这就是高等代数中讨论多项式理论的目的之一;要求特征向量,就要求线性方程组的解,这是线性方程组的主要作用。这样又引起一系列的问题,比如,矩阵、行列式等等。
8. 作为最基础的代数结构,向量空间是构造其它更复杂的代数结构的基石。就像盖高楼大厦一样,向量空间只相当于其框架结构。
2. 向量空间的本质是它的两个运算及8条运算规则,任何其它的概念与性质都是由这些导出的。线性变换是和这两个运算相容的映射或变换:先运算后变换与先变换后运算的结果一致。
3. 在某种意义下,线性变换可以等同于矩阵。线性变换的研究可以转化为矩阵的研究。
4. 线性变换是线性映射的特例。线性映射是比较两个线性空间的主要工具,最基本的问题是如何判断两个线性空间同构,即,它们之间是否存在保持运算的双射。
5. 两个代数结构之间的保持运算的映射,称为同态(更一般的概念是对象之间的态射,这是范畴与函子的语言)。线性空间是非常基本的代数结构,线性映射正是这种代数结构之间的同态。
6. 线性变换研究的基本问题是:化简问题。线性变换由它在一组基上的取值所唯一确定。化简是指:如何选取适当的基,使得线性变换在这组基下的矩阵具有简单的形式,简单的矩阵一般指对角矩阵(两个对角矩阵乘积可交换)。这就引出特征值与特征向量的概念以及一些列的问题。
7. 要求特征值,就要求多项式的根,这就是高等代数中讨论多项式理论的目的之一;要求特征向量,就要求线性方程组的解,这是线性方程组的主要作用。这样又引起一系列的问题,比如,矩阵、行列式等等。
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