Question

线性代数题 大佬帮帮忙 正定矩阵 A，B为正定矩阵，是否一定存在可逆矩阵C使C^TAC=B

线性代数题 大佬帮帮忙 正定矩阵 A，B为正定矩阵，是否一定存在可逆矩阵C使C^TAC=BA，B为正定矩阵，是否一定存在可逆矩阵C使C^TAC=B 如题

Answer 1

一定存在，因为所有正定矩阵都合同于单位矩阵，由合同的传递性和对称性，知道A和B一定是合同的关系，也就是那个矩阵等式成立。
正定矩阵合同于单位矩阵的说明如下：
正定矩阵A的特征值都是正的, 可相似对角化成 diag(a1,a2,...,an), ai>0.
即存在正交矩阵P, 使 P'AP = diag(a1,a2,...,an)
取 C = diag( 1/√a1,1/√a2,...,1/√an)
则有 C'P'APC = C'diag(a1,a2,...,an)C = E
即 (PC)'A(PC) = E

追问

哇哦 秒懂 谢谢谢谢

追答

不客气