Question

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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c，且a>b>c，a+b+c=0。(1)求证：f(x)=0有两个不等的实根；(2)若存在实数x，使得ax^2+bx+a+c=0成立，<1>判断f(x+3)的符号；<2>若b不等于0，求证：ax^2+bx+a+c=0的两个实根分别在(c/a，0)和(0，1)上。

Answer 1

（1）.因为a>b>c，a+b+c=0，所以a>0,c<0
b^2-4ac>0，所以（1）得证。
（2）.
<1>.ax^2+bx+a+c=0即ax^2+bx-b=0
b^2+4ab>=0，根据a>b>c，a+b+c=0
b>=0
x1=-[b+√(b^2+4ab)]/(2a)<=0,x2=[-b+√(b^2+4ab)]/(2a)>=0
x2-x1=[√(b^2+4ab)]/a<√5<3
x2<x1+3,x2<x2+3
f(x2)=-c>0
x2在对称轴右侧，递增。
所以f(x+3)>f(x2)>0

<2>.b不等于0，所以b>0
写出两个根的公式，很显然，一个负根x1，一个正根x2
b^2+4ab<b^2+4ab+(2a)^2=(2a+b)^2
负根x1=-[b+√(b^2+4ab)]/(2a)>-(b+2a+b)/2a=(2c)/2a=c/a
即负根在(c/a，0)
正根x1=[-b+√(b^2+4ab)]/(2a)>(-b+2a+b)/2a=1
即正根在(0，1)上

Answer 2

(1)b=-(a+c)
b^2=(a+c)^2=a^2+c^2+2ac
b^2-4ac=a^2+c^2-2ac=(a-c)^2>=0
a>c,a-c>0
(a-c)^2>0
b^2-4ac>0
f(x)=0有两个不等的实根

Answer 3

1、由a+b+c=0得a>0,c<0.则△=b^2-4ac>0 即f(x)=0有两个不等的实根