Question

当x趋向于0时,1/x和tanx相乘是无穷小还是无穷大

当x趋向于0时，要计算ln（（1/x）*tanx）的极限，我想用泰勒公式，但不知道（1/x）*tanx是否趋向于0，能用这个公式吗？为什么？
原题里是（1/x^2）*ln（（1/x）*tanx）求x趋于0的极限

Answer 1

∵lim(x→0)(tanx)/x=lim(x→0)(1/cosx)(sinx/x)=1，∴x→0时，“tanx/x→1”而非“→0”。
可以用泰勒展开式【等价无穷小量替换】求解。其过程是，x→0时，tanx=x+x³/3+O(x³)、ln(1+x)=x+O(x)，
∴原式=lim(x→0)ln[(tanx)/x]/x²=lim(x→0)[ln(1+x²/3)]/x²=lim(x→0)(x²/3)/x²=1/3。
供参考。

Answer 2

lim<x→0>(1/x)tanx = 1
lim<x→0>ln[(1/x)tanx] = ln1 = 0

追问

因为原题里是（1/x^2）*ln（（1/x）*tanx）求x趋于0的极限，所以不能简单的等于无穷小,我就想后面部分能不能用泰克来化简式子？