Question

复变函数中sinh kt是什么?

Answer 1

解析：
z = x+iy (x, y为实数)
sin(z) + 2icos(z) = 0
sin(x+iy) + 2icos(x+iy) = 0
运用 sin 和 cos 的和角公式：
[ sin(x)cos(iy) + cos(x)sin(iy) ] + 2i*[ cos(x)cos(iy) - sin(x)sin(iy) ] = 0

因为
sin(iy) = i*sinh(y)； cos(iy) = cosh(y)
所以
sin(x)cosh(y) + i*cos(x)sinh(y) + 2i*cos(x)cosh(y) + 2sin(x)sinh(y) = 0
实部虚部分开得：
sin(x)cosh(y) + 2sin(x)sinh(y) = 0 ...............(1)
cos(x)sinh(y) + 2cos(x)cosh(y) = 0 .............(2)
化简得：
-sin(x) = 2sin(x)tanh(y) .................(1)
cos(x)tanh(y) = -2cos(x) ..............(2)

式(1): sin(x) = 0 或 tanh(y) = -1/2
解得： x=kπ (k为整数) 或 y=ln[ √(1/3) ]

式(2): cos(x) = 0 或 tanh(y) = -2
解得： x=(π/2)+kπ (k为整数) 或 y=ln[√(-1/3)] ......(此时y为虚数，与初设条件不符，排除)

因此，解集只能为：
x=(π/2)+kπ (k为整数)
y=ln[ √(1/3) ]