Question

已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

Answer 1

设圆心角是x,半径是r
扇形周长=xr+2r=20
x=(20-2r)/r
扇形面积=xr^2/2=(20-2r)*r^2/2r=10r-r^2
是一个二次函数
当r=10/2=5时,扇形面积最大,S=10*5-5^2=25平方厘米
此时圆心角=(20-10)/5=2

Answer 2

扇形周长等于半径r×2＋弧长αr，其中，α为圆心角。
2r+αr=20
r=20/(2+α)
扇形面积S=πr²α/(2π)
=[20/(2+α)]²α/2
=200α/(2+α)²
S对α求导：
S'=[200(2+α)²-200α×2(2+α)]/(2+α)^4
=(400-200α)/(2+α)³
令S'=0
400-200α=0
α=2弧度时，扇形面积最大。
最大面积为：
Smax=200×2/(2+2)²
=25平方厘米

Answer 3

Answer 4

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