Question

这道题目第一问不作辅助线能否做得出来?

Answer 1

可以的：
因为点A、C均在圆O上，所以OA=OC，又因为AD=CD，OD=OD，
所以△OAD≌△OCD（SSS），易知AC⊥OD，
又因为AB为圆O的直径，有AC⊥BC，所以OD∥BC。

追问

求同角相等可以吗?

追答

那可能就要作辅助线了，并且会麻烦一点。
其实证明了两条直线垂直于同一直线也是证明了同角相等啊。

追问

你帮我看下我这样子写可不可以

追答

应该是∠AOD=∠CBO或者∠BOD+∠CBO=180°吧？不过为什么证明是垂直平分线之后就能得到这个结论呢？并没有类似的定理。
然后我刚才发现我的做法其实也是作了辅助线，连接了OC，除非像你那样直接就说是垂直平分线，不过那样过程省略太多了，不建议这样做。

追问

我写错了，是角AOE=角AOC

角AOE=角ABC

刚刚打错了

追答

那就是我说的，证明是垂直平分线之后为什么就能得到这个结论呢？不明白。

追问

就是说，证明垂直了是平分线+圆心这两个条件后，并不能直接得到同位角相等对吗?

追答

是的，除非有这个定理可以直接使用，但是并没有这样的定理，所以中间的过程必须写上，不然会扣分甚至没分。

追问

我就是这样子写的，好像是没给我分。。。

一分也没有

追答

原来是批改过的啊，那就没错了，因为没有这样的定理，所以跳过过程直接写结论是不可行的。

追问

那么如果就用这个来写，应该还要补充一些什么呢?

角AOD=角ABC

追答

连接OC（不作辅助线貌似还真做不出来），按我的解法证明全等和垂直平分之后，
在直角△AOE和直角△ABC中利用∠AOD=90°-∠OAE=90°-∠BAC=∠ABC即可 。

追问

就是说这道题，如果不作辅助线等于无解对吗?

追答

有可能能解，但是没想出来，也肯定很麻烦，也可能确实无解。你可以从下面的角度来思考：

下图的条件与原题一样，但是没有连接其他任何一条多余的线段，

那么显然在不作辅助线的情况下几乎什么都证明不了。

我举这个例子是想说，出题者只要把没有条件限制的但解题又必须用到的线故意不画在图上，那么你就必须要画出这些线，即“出题者在逼你作辅助线”，所以想到作辅助线解题的方法就作吧，作辅助线并不会扣分，而强行思考不作辅助线的解法只会浪费时间。

追问

连接oc的目的就是为了证明那两条线垂直对吗?

追答

是的，连接OC是为了证明三角形全等进而证明OD垂直平分AC。

追问

但是像我那样证明它垂直不可行吗?

追答

不行，前面说过了，因为没有这样的定理可以直接用，所以必须用其他方法来间接证明。

追问

好的明白了，谢谢你

追答

满意记得采纳哦！

追问

但是按我那么方法确实能推测出两条线是垂直，只是没有相关的定理而已，也是不可以吗?

初中的

追答

不可以，定理就像问题到答案之间的捷径一样，只要提了定理，那么就可以直接得出答案，
但是如果没有定理，就是没有捷径，那就必须用别的方法绕道得到答案。

追问

假如我证明两线垂直那一步写错了，然后继续往下写角AEO=角ACB（直径所对角是直角）会不会会不会有分?

追答

不确定，要看评分老师参考的“标准答案”里是怎么安排分数的，
假如提到“直径所对的角是直角”这一点有分，那就有分，如果这点没分或者要求整个证明过程都要完整且正确才有分那就没分，
也许是这样吧，毕竟我不是评分老师，不清楚具体情况。

追问

答案是这样的

对了我之前证的那个平行不是相当于垂径定理吗?

追答

这样的话我也不知道有没有分了。
我去看了垂径定理和它的逆定理，所提到的点和线（弦）都是在圆内的，我再去看了所有与圆有关的定理，都没有发现符合的定理，所以是没有相关的定理可以直接使用了。

追问

所以我的这个还是不符合对吗?

追答

是吧，至始至终我也没说过可以，写得太简洁了。

追问

对了你是评卷老师吗?

追答

不是。

追问

你好我还想问下，如果按照我那样写虽然没有涉及相关定理，但会不会有公理呢？

Answer 2

看来看去此题三种途径都离不开辅助线。
1、连接OC证三角形全等再证∠AEO=90°；然后比对∠ACB= 90°证平行；
2、以D为圆心以DA为半径作圆证相交两圆连心线与公共弦垂直；
3、解析法，设置平面直角坐标系——也是一种辅助线，且不说那复杂的运算。

追问

如果不作辅助线，这道题是解不出来的对吗?

连接oc的目的就是为了证明那两条线垂直对吗?

追答

连接OC是构造两个全等三角形：△OAD≌△OCD。得到OA=OC以及DA=DC，然后得结论OD垂直平分AC。

追问

如果不连接oc可不可以证明od ac垂直?

追答

追问

就是无论怎样，都得作辅助线对吗?

追答

未找到不用辅助线的证法

追问

但是按我那么方法确实能推测出两条线是垂直，只是没有相关的定理而已，也是不可以吗?

第二步写错了，OE应改成OD

初中的

追答

问题就是没有相关的定理

追问

就是无论是我这个方法证明垂直和同位角相等都是没有相关定理的对吗?

假如我证明两线垂直那一步写错了，然后继续往下写角AEO=角ACB（直径所对角是直角）会不会会不会有分?

你好我还想问下，如果按照我那样写虽然没有涉及相关定理，但会不会有公理呢？