求级数∑(-1)∧(n-1)/(2n-1)(2n+1)的和 n从1到∞
问题是第8题,想知道答案里为什么∑(-1)∧(n-1)/(2n-1)(2n+1)与极限acrtanx相等,也就是划红线部分,而且为什么是x趋于1负...
问题是第8题,想知道答案里为什么∑(-1)∧(n-1)/(2n-1)(2n+1)与极限acrtanx相等,也就是划红线部分,而且为什么是x趋于1负
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首先x∈(-1,1),因此x一定是从左边趋近1
其次幂级数的求和与极限可以交换次序,也就是说lim(x→x0)∑fn(x)=∑lim(x→x0)fn(x)。而每一项都是连续的,所以lim(x→x0)fn(x)=fn(x0),因此lim(x→x0)∑fn(x)=∑fn(x0)。
这里x0=1,把1代到幂级数的通项当中,x^(2n-1)=1,全都没了,就只剩下了∑(-1)^(n-1)/(2n-1)
其次幂级数的求和与极限可以交换次序,也就是说lim(x→x0)∑fn(x)=∑lim(x→x0)fn(x)。而每一项都是连续的,所以lim(x→x0)fn(x)=fn(x0),因此lim(x→x0)∑fn(x)=∑fn(x0)。
这里x0=1,把1代到幂级数的通项当中,x^(2n-1)=1,全都没了,就只剩下了∑(-1)^(n-1)/(2n-1)
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追问
不好意思,我还有一个也不是很明白,幂级数可以逐项积分,acrtanx=∫1/(1+t²)dt (t从0到x),再变成幂级数的时候这个不是看做变限积分吗?
追答
对呀,答案是在逐项积分啊,只是直接帮你把结果写出来了而已
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