Question

罗尔定理解法

第二问在已知f(c)=c的基础上可以推知f(x)=x,即f(ξ)=ξ,那是不是可以对原式进行化简，用ξ反代换f(ξ),得到f'(ξ)-1=0再构造辅助函数h(x)=f(x)-x，利用罗尔定理求得存在ξ属于（0,1/2）h'(x)=0,即f'(ξ)-1=0，请问这种解法对吗

Answer 1

两个存在的ξ不一定是同一个值啊。
标答应该是这样的
第一小问，构造g(x)=f(x)-x.
通过g(1/2)>0,g(1)<0,零点定理，得到存在c1∈(0.5,1),使得g(c1)=0.得证.
第二小问，构造h(x)=(f(x)-x)/e^x. 由于h(0)=h(c1).由罗尔定理，存在c2∈(0,c1),使得h'(c2)=0.得证.