数学大佬看一下 求极限的题
1个回答
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这个极限也非常简单啊
先求lim(x→+∞)(x*tan(1/x))^x²
令t=1/x，则t→0+
原式=lim(t→0+)(tant/t)^(1/t²)
=lim(t→0+)[(tant-t+t)/t]^(1/t²)
=lim(t→0+)[1+(tant-t)/t]^(1/t²)
又因为tant-t~t³/3，所以(tant-t)/t~t²/3
于是原式=lim(t→0+)(1+t²/3)^(3/t²*1/3)=e^(1/3)
这就是所求的极限
先求lim(x→+∞)(x*tan(1/x))^x²
令t=1/x，则t→0+
原式=lim(t→0+)(tant/t)^(1/t²)
=lim(t→0+)[(tant-t+t)/t]^(1/t²)
=lim(t→0+)[1+(tant-t)/t]^(1/t²)
又因为tant-t~t³/3，所以(tant-t)/t~t²/3
于是原式=lim(t→0+)(1+t²/3)^(3/t²*1/3)=e^(1/3)
这就是所求的极限
更多追问追答
追问
我想问一下，遇到加号不是不可以等价代换吗？
追答
我换的是底数1+x的x，x本身是无穷小。所谓加减法不能换指的是，x里面有加减法，x=x1+x2，你不能只换一部分。但现在1+x，1又不是无穷小，自然不需要遵守这个规则
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