Question

一道简单的用球坐标求三重积分题

我不明白为啥那个角范围为啥是0至π/4





Answer 1

答：你发现的问题很好。解析在这个问题上出现了错误，他一定是把抛物面看作是圆锥面了(圆锥曲面：z=√(x^2+y^2))。见下图（未表达z<0的对称曲面）；

如果是圆锥曲面：他的做法是对的，现在是抛物面：φ=arcsin[(√5-1)/2];因此，你是对的。如果要问怎么来的？可以这样来做：

顶部为圆球：x^2+y^2+z^2-1=0...(1)和z-(x^2+y^2)=0...(2);    (1)-(2),得：

z^2-z-1=z^2-z+(1/2)^2-1/4-1=(z-1/2)^2-5/4=(z-1/2+√5/2)(z-1/2-√5/2)=0

z=+/-(√5-1)/2--这是圆球与抛物面的交面，在这个平面内：x=0,y=+/-√[(√5-1)/2];    y=0,x=+/-√[(√5-1)/2],交面的r=1,所以sinφ=sin{+/-√[(√5-1)/2]}；

当x=y=0，φ=0。所以对于z>=0部分，有积分区间：z∈[0,arcsin[(√5-1)/2]。

追问

谢谢您