Question

判断图示级数的敛散性

Answer 1

此级数是个正项级数
因为n→桥州袜+∞时，π/ 3^n →敏激0，故sin(π/3^n) ~ π/3^n
故令Un=2^n sin(π/3^n)，Vn=(2/3)^n
故lim[n→+∞]Un/Vn=π
又因为2/3 <1，故级数∑Vn收敛
由比较原则，级数Un收敛，进迹喊而绝对收敛

Answer 2

分享一种灶则解法。详细过程是，∵n→卖辩悄∞时，π/3^n→0，∴sin(π/3^n)~π/3^n。
∴级数∑(2^n)sin(π/3^n)与级数∑(2^n)(π/3^n)有相同的敛散性。
而，级数∑(2^n)(π/3^n)=π∑(2/3)^n，是首项为2/3、公比q=2/3的等比数列，满足丨q丨<1的收敛条件，∴∑(2^n)(π/3^n)收敛。中渣
∴级数∑(2^n)sin(π/3^n)收敛。
供参考。