Question

求微分方程y''+y=x^2的通解。请描述详细点，谢谢

Answer 1

解：∵齐次方程y''+y=0的特征方程是r²+r=0，则r=±i
（i是虚数）
∴齐次方程y''+y=0的通解是y=C1sinx+C2cosx
(C1,C2是积分常数)
∵设原方程的一个解为y=Ax²+Bx+C
代入原方程得2A+Ax²+Bx+C=x²
==>A=1,B=0,C=-1
∴原方程的一个解是=x²-1
故原方程的通解是y=C1sinx+C2cosx+x²-1
(C1,C2是积分常数)。

Answer 2

特征方程r^2+r=0
r=-1,r=0
齐次通解
y=c1+c2e^(-x)
非齐次特解为y=ax^3+bx^2+cx
y'=3ax^2+2bx+c
y''=6ax+2b
代入得
6ax+2b+3ax^2+2bx+c=x^2
比较系数得
3a=1,
6a+2b=0
2b+c=0
a=1/3,b=-1,c=2
y=1/3x^3-x^2+2x
所以通解是
y=c1+c2e^(-x)+1/3x^3-x^2+2x