Question

求下列矩阵的特征值和特征向量{-1 2 2}{2 -1 -2}{2 -2 -1}

Answer 1

因为a=
1
2
2
1
所以λe-a=
λ-1
-2
-2
λ-1
所以|λe-a|=(λ-1)^2-4=(λ+1)(λ-3)
所以矩阵a的特征值为λ1=-1，λ2=3
当λ1=-1时，方程组(λe-a)x=0的基础解系为x1=(1,-1)^t
当λ2=3时，方程组(λe-a)x=0的基础解系为x2=(1,1)^t
所以矩阵a的特征值及其对应的特征向量为λ1=-1,x1=(1,-1)^t，λ2=3,x2=(1,1)^t

Answer 2

设矩阵A的特征值为λ那么
|A-λE|=
-1-λ
2
2
2
-1-λ
-2
2
-2
-1-λ
第3行减去第2行
=
-1-λ
2
2
2
-1-λ
-2
0
-1+λ
1-λ
第2列加上第3列
=
-1-λ
4
2
2
-3-λ
-2
0
0
1-λ
=(1-λ)(λ^2+4λ-5)=0
解得λ=1，1，-5
λ=1时，
A-E=
-2
2
2
2
-2
-2
2
-2
-2
第2，3行加上第1行，第1行除以-2
～
1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1,1,0)^T和(1,0,1)^T
λ=
-5时，
A+5E=
4
2
2
2
4
-2
2
-2
4
第1行加上第2行，第3行减去第2行
～
6
6
0
2
4
-2
0
-6
6
第1行除以6，第2行减去第1行*2
～
1
1
0
0
2
-2
0
-6
6
第2行除以2，第1行减去第2行，第3行加上第2行*6
～
1
0
1
0
1
-1
0
0
0
得到特征向量(-1,1,1)^T
所以
矩阵的特征值为1，1，-5
对应的特征向量为(1,1,0)^T、(1,0,1)^T和(-1,1,1)^T