Question

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD=a，PA=PC=a根号2

（1）求证：PD⊥平面ABCD；（2）求证：直线PB与AC垂直（3）求二面角A—PB—D的大小（4）在这四棱锥中放一个球，求球的最大半径；（5）求四棱锥外接球的半径。

Answer 1

1、底面ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=a,

PD=a，AD^2+PD^2=2a^2,AP^2=2a^2,

根据勾股逆定理，

△APD是RT△，

同理△PCD是RT△，

AD∩CD=D，

∴PD⊥平面ABCD。

2、连结底面对角线AC、BD，

则AC⊥BD，

由前所述，PD⊥平面ABCD，

根据三垂线定理，

∴PB⊥AC。

3、过PB中点F作FO⊥底面ABCD，垂足O，则O是对角线AC和BD交点，连结AF，

PB=√3a,则〈PAB=90度，〈PCB=90度，

S△PAB=√2a*a/2=√2a^2/2,

S△FAB==√2a^2/4,

S△FOB=S△PBD/4=√2a*a/2/4=√2a*a/8,

设二面角A-PB-D平面角为θ，

S△FOB=S△FAB*cosθ,

cosθ==(√2a*a/8)/(√2a^2/4)=1/2,

θ=60度。

二面角A—PB—D为度。

4、设内切球半径为r,内切球心为I,

则I至各平面距离为r,

连结I至多个顶点连线，把四棱锥分成5个小三棱锥，5个小三棱锥体积之和等于大四棱锥的体积。

r*(a^2/2+a^2/2+√2a*a/2+√2a*a/2+a^2)/3=a^2*a/3,

r=(2-√2)a.

最大球即是内切球，最大半径为(2-√2)a。

5、因△PAB、△PBC，△PDB都是以PB为斜边的RT△，

从PB中点F至A、B、C、D距离均是PB/2，

PB=√3a,

四棱锥外接球的半径R=PB/2=√3a/2.