Question

设随机变量X与Y独立, X服从正态分布N(μ,σ^2 ), Y服从[-pi,pi]上的均匀分布,求Z=X+Y的密度函数

Answer 1

因为x与y独立，
x服从正态分布n（μ，σ2），y服从[-π，π]上的均匀分布，
所以x与y的概率密度分别为：
fx（x）=
1
2π
σ
e?
(x?μ)2
σ2
，
fy（y）=
1
2π
?π＜y＜π
0 其他
，
因为z=x+y，故其概率密度为：
fz（z）=
∫
+∞
?∞
fx(x)fy(z?x)dx=
∫
z+π
z?π
fx(x)?
1
2π
dx=
1
2π
∫
z+π
z?π
fx(x)dx
=
1
2π
(
∫
z+π
?∞
fx(x)dx?
∫
z?π
?∞
fx(x)dx)
=
1
2π
(fx(z+π)?fx(z?π))
=
1
2π
(φ(
z+π?μ
σ
)?φ(
z?π?μ
σ
))．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

fY(y)=1/（2π），y∈[-pi,pi]，其他为0
FZ(z)=P{Z<=z}=P(X+Y<=z)=∫
fY(y)P{X<=z-y}dy
=
∫(－∞,＋∞)fY(y)Φ((z-y-u)/σ)dy
fZ(z)=∫(-π,+π)φ((z-y-u)/σ)/(2π)dy
=[Φ((z+π-u)/σ)-Φ((z-π-u)/σ)]/（2π）
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