Question

考研数学，这道题哪里错了？

考研数学，这道题哪里错了

Answer 1

把其中的定积分变换一下，设 u = t/3，则 t = 3u，dt = 3du。那么这个定积分变换为积分范围为 0 → x：
=∫f(u) * 3du = 3∫f(u)du
那么，有：
f(x) = 3∫f(u)du + e^(2x)
两边同时求微分，有：
f'(x) = 3f(x) + 2 * e^(2x) ①
先求特征方程 f'(x) = d[f(x)]/dx = 3f(x) 的解，得到：
d[f(x)]/f(x) = 3 * dx
两边同时积分，得到：
ln[f(x)] = 3x + k
f(x) = e^k * e^(3x) = C * e^(3x) ②
当 C 也是 x 的函数时，得到：
f'(x) = C' * e^(3x) + C * e^(3x) * 3 = C' * e^(3x) + 3f(x)
把这个结果代入 ① 式，得到：
C' * e^(3x) = 2 * e^(2x)
C' = dC/dx = 2 * e^(-x)
dC = 2 * e^(-x) * dx
所以：C = -2 * e^(-x) + C0
代入 ② 式，有：
f(x) = -2 * e^(2x) + C0 * e^(3x)
因为 f(0) = 1，所以得到：C0 = 3
那么：
f(x) = 3*e^(3x) - 2 * (2x)

Answer 2

问题在最后两行。
您的求救过程的倒数第三行，说明这是一个一阶微分方程。且是含初始条件f(0)=1的一阶微分方程。
按照一阶线性微分方程的解法，先求通解，再代入初始条件算C的值，得特解就是所求的f(x).