Question

已知实数xy满足方程(x-2)^2+y^2=3那么y-x的最小值和最大值？还有x^2+y^2最大值

Answer 1

可以用三个思路来做
已知x^2+y^2-4x+1=0
所以(x-2)^2+y^2=1原方程
1、参数方程：x=2+cost；y=sint；t属于[-pi/2,pi/2]
那么y-x
=sint-cost-2
那么x^2+y^2
=4x-1
=4cost+7
转化为订笭斥蝗俪豪筹通船坤一元函数在定义域上的最值，很方便
2、可以通过构造拉格朗日函数求解
g1(x,y)=y-x+a(x^2+y^2-4x+1)
g1对x求偏导=-1+2ax-4a=0
g1对y求偏导=1+2ay=0
g1对xa求偏导x^2+y^2-4x+1=0
联立上述方程，求得x,y
然后在判断二阶偏导，来判定最大值还是最小值
g2(x,y)=x^2+y^2+a(x^2+y^2-4x+1)同上
3、可以通过画图来做
x^2+y^2-4x+1=0是圆，y-x是直线，就是原上一点到直线的距离的最值
x^2+y^2-4x+1=0是圆，x^2+y^2是圆，就是两个圆上两点距离的最值