Question

数学八上问题

Answer 1

1、因为DG∥BC，所以ADG也是等边三角形，所以AD=DG，而AD=AG能得到DB=CG，所以DE=GC

在三角形AED和DCG中，AD=DG,
DE=GC,
角ADE=DGC=120°，所以两三角形全等。

现在看DGC能否绕一点转到ADE

也就是D点转到A点，G点转到D点，那么所围绕的那个点X，必然满足XA=XD且XG=XD，也就是说在AD和DG垂直平分线交点上。也就是三角形ADG的外心

下面我们要证明，转完后能同时使C点到E点，也就是XC=XE,这个不难证明

从X点向DG
AG分别作垂线于H，J考察直角三角形XHE和XJC，非常容易证明两直角边分别相等。那么XE=XC

所以我们证明了DGC围绕X点可以成为ADE，角度当然是逆时针120°。为什么？如果你把ADG的外接圆画出来就知道了。

所以三角形DGC围绕等边三角形ADG的中心逆时针旋转120°，就成为三角形ADE

2、平行四边形对边EF=DC
由第一问，我们得知DC=AE

所以EF=AE，所以三角形AEF是等腰三角形

而且角AED=角DCG(三角形全等）

角DEF=角DCB（平行四边形性质）

所以角AED+DEF=角DCG+角DCB=60°

也就是角AEF=60°

所以三角形AEF是等边三角形（一个角是60的等腰）

3、题目做到这里，这问应该简单了

如果二点重合则DE=BC=AB

由第一问中的已知DE=BD

所以能推出BD=AB

也就是说当且仅当D点就是A点的极端情况，B,F重合。

如果确认D点在AB之间并与A点不能重合，那么BF两点不会重合