Question

抛物线方程为x²=-2y，抛物线上是否存在这样一点P，使其到抛物线准线的距离等于它到原点的距离 试求P

Answer 1

因为点P在抛物线x^2=-2y
设P点坐标是(x,x^2/(-2))
它的准线方程是y=1/2
∴P点到原点的距离=√[(x-0)^2+(x^2/(-2)-0)^2]=√(x^2+x^4/4)
P点到准线的距离是(注意准线在点P的上方)
1/2-x^2/(-2)
则解方程
1/2-x^2/(-2)=√(x^2+x^4/4)
(x^2-1)/2=1/2√(4x^2+x^4)
x^2-1=√(4x^2+x^4)
x^4-2x^2+1=4x^2+x^4
6x^2=1
x=±√6/6
x^2/(-2)=-1/12
∴点P坐标是(±√6/6
,
-1/12)

Answer 2

设抛物线方程为x²=4my(m≠0)
则准线方程为y=-m
(-3，a)到准线的距离为5
|a-(-m)|=5-(-1)①
9=4am-(-2)(点在抛物线上)②
①②联立，整理，得：
a=9/2，m=1/2或a=1/2，m=9/2
或a=-1/2，m=-9/2或a=-9/2，m=-1/2
∴抛物线的方程为x²=±2y或x²=±18y