Question

矩阵可对角化的充要条件是？

Answer 1

n阶方阵可进行对角化的充分必要条件是：
1.n阶方阵存在n个线性无关的特征向量
推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值,那么矩阵必然存在相似矩阵
2.如果阶n方阵存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重
复次数
现在从矩阵对角化的过程中,来说说这个条件是怎么来的.
在矩阵的特征问题中,特征向量有一个很好的性质,即aa=λa.
假设一种特殊的情形,a有n个不同的特征值λi,即aai=λi*ai.令矩阵p=[a1
a2
...
an]
这样以来ap=a*[a1
a2
...
an]=[a*a1
a*a2
...
a*an]=[λ1*a1
λ2*a2
...
λn*an]=p*b,其中b是对角阵.
b＝
λ1
0
0
...
0
λ2
0
...
...
...
...
...
0
0
0
λn
由于不同特征值对应的特征向量是线性无关的,那么p是可逆矩阵,将上面等式换一种描述就是
a＝p*b*p-1
,这也就是a相似与对角阵b定义了.
在这个过程中,a要能对角化有两点很重要：
p是怎么构成的?p由n个线性无关的向量组成,并且向量来自a的特征向量空间.
p要满足可逆.什么情况下p可逆?
矩阵可对角化的条件,其实就是在问什么情况下p可逆?
如果a由n个不同的特征值,1个特征值－对应1个特征向量,那么就很容易找到n个线性无关的特征向量,让他们组成p；
但是如果a有某个λ是个重根呢?比如λ＝3,是个3重根.我们
知道对应的特征方程(3i－a)x＝0不一定有3个线性无关的解.如果λ＝3找不到3个线性无关的解,那么a就不能对角化了,这是因为能让a对角化的p矩阵不存在.

Answer 2

假设矩阵为A，则充要条件为：
1）A有n个线性无关的特征向量.
2)A的极小多项式没有重根.
充分非必要条件：
1)A没有重特征值
2)A*A^H=A^H*A
必要非充分条件：
f(A)可对角化,其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数