Question

求微分方程y'+y=e^-x的通解

Answer 1

求微分方程y'+y=e^(-x)的通解
解：先求齐次方程y'+y=0的通解：dy/dx=-y，分离变量得dy/y=-dx；
积分之，得lny=-x+lnC₁，即y=e^(-x+lnC₁)=C₁e^(-x)；
为求原方程的通解，可用参数变易法：把积分常量C₁改为x的某个函数u，得：y=ue^(-x)........(1)
将(1)的两边对x取导数得dy/dx=e^(-x)(du/dx)-ue^(-x).........(2)
将(1)和(2)代入原式得e^(-x)(du/dx)-ue^(-x)+ue^(-x)=e^(-x)；
即有e^(-x)(du/dx)=e^(-x)，于是得du/dx=1，故得u=x+C；代入(1)式，即得原方程的通解为：
y=(x+C)e^(-x).
【此解法比较通俗易懂，且几乎程式化，好掌握，建议你学会这一方法，用来求解此类一阶非
齐次方程。】

Answer 2

y''-y=0的特征方程为a^2-1=0，解是a=1或a=-1，
因此通解是y=ce^x+de^(-x)。
y''-y=e^x的特解设为y=e^x(ax)，
则y'=ae^x(x+1)，y''=ae^x(x+2)，
代入方程得2ae^x=e^x，于是a=0.5，
特解是y=0.5xe^x。
最后得微分方程的通解是
y=ce^x+de^(-x)+0.5xe^x。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示